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AMC10/12數學競賽四大高頻考點解析：名師帶你巧破競賽難題！

發(fā)布時間：2024-02-07 10:46:21 編輯：Mila來源：網絡

AMC10/12數學競賽試題主要分為4個模塊：代數、幾何、數論、組合。每個模塊考察的內容不同，占比也不同。攻破這四大模塊，那么你距離AIME晉級也就不遠了。今天我們通過探究真題，帶領同學們呢體會AMC的命題風格，巧破難題！

AMC10/12數學競賽

 
 
在代數、幾何、數論、組合四個板塊中，代數和幾何占比將近60％，是每年考試的重點。數論和組合在最近幾年的出題率也大大增加。因此我們從這四個模塊中分別選取一道往年較有難度的真題進行講解：

 
 
 

AMC10/12歷年真題：

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真題解析 

 
代數占比最多，是歷年考題的重中之重，大概占10題左右。代數的一個顯著的特征是，引入了用字母符號來“代替“數字，并且對符號進行形式化的運算。在此基礎上，再發(fā)展到方程和函數等概念的建立。下面我們以一道AMC10的一道真題為例：

解析：在這個題里面，N和M雖然實際上是確定的數，但是以未知數的形式出現的。要先根據條件列出一個不定方程，因為不定方程在限定條件是可能有唯一解或者有限定個數的解的，題中N和M都是整數，N>2M和M>4，這些限定條件排除了不可能的解，剩下的就是我們要的解。

 幾何占比第二多，大概6-8 題，比較注重平面幾何、三角形與四邊形的考察。大部分內容在國際課程中不涉及，所以對于國際學生來說可能會有點陌生。下面以一道真題為例：

 

 

解析：從圖形上來看，一個正方形被兩條直線分割成了4塊，我們注意到其中3塊都是三角形，所以我們只要知道這3個三角形的面積比例，不規(guī)則四邊形AFED也就知道了，答案自然而然就出來了。

 組合是每年的必考點，大概占比5-6題。其中排列和組合是組合數學的基本概念，而概率又是由排列數和組合數進行“排列組合”，也就是加減乘除各種運算而得到的。只要概念清晰，方法系統(tǒng)化，可以說理論上一切的概率問題都可以計算出來。下面我們通過一道真題詳細了解一下：

 

解析：首先，五個頂點我們視為不同的，所以對它們的涂色是有順序的。關鍵是要把順序排列好，還要把情況分解好。我們用下面的樹形圖來表示。把每一個分支的計數算出來，最后加和就是總數了。

 

 

 
 數論雖然占比最少，但在近幾年考察比重在逐漸加大，內容包括整除、分解質因數、指數冪等。大概占 4-6 題左右。從概念來講，數論就是討論整數的規(guī)律。我們以AMC12的一道真題為例：
 
 

解析：這個題的正規(guī)解題方法要用到費馬小定理和中國余數定理，如果能掌握這些當然很高超。但是即使不會這兩個定理，也可以用幾次WLOG（without loss of generality，不失去一般性）的特例推理，進行解答。

 
 
 
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